BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Tuberculosis (TBC) merupakan salah satu penyakit penyebab kematian
penduduk di Indonesia yang cukup memprihatinkan yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis (MyTBC).
Fenomena TBC seperti yang dikemukakan oleh Menteri Kesehatan Prof. dr. Nila
Djuwita F. Moeloek, Sp.M telah
menghantarkan Indonesia pada peringkat ketiga penyumbang penyakit TBC di dunia
setelah India pada peringkat pertama dengan temuan tidak kurang dari 800.000
kasus setiap tahunnya dan China pada peringkat kedua dengan temuan penderita
baru setiap tahunnya tidak kurang dari 600.000 kasus.
Di Indonesia TBC
merupakan masalah utama kesehatan masyarakat yang berkembang cukup pesat. Hal
ini ditandai dengan temuan penderita setiap tahunnya tidak kurang dari 500.000
orang. Fakta ini tentu cukup mencengangkan apalagi prevalence TBC tertinggi
berada di kawasan timur Indonesia yang mencapai 210 per 100.000 penduduk. (Depkes RI, 2000, 2004). Kejadian Kasus Tuberculosis paling banyak
terjadi pada kelompok masyarakat dengan sosio- ekonomi lemah. Terjadinya
peningkatan kasus ini disebabkan oleh daya tahan tubuh yang lemah, status gizi
dan kebersihan individu, serta kepadatan hunian lingkungan tempat tinggal.
Meskipun
menular, tetapi orang yang tertular Tuberculosis tidak semudah terserang
flu. Penularan penyakit ini memerlukan waktu pemaparan yang cukup lama dan
intensif dengan sumber penyakit (penular). Seseorang yang kesehatan fisiknya
baik, memerlukan kontak dengan penderita TBC aktif setidaknya 8 jam sehari
selama 6 bulan untuk dapat terinfeksi.
Dalam masalah
penularan penyakit TBC ini paling sedikit terdapat tiga kategori subpopulasi
yang berinteraksi satu sama lain dalam setiap lingkungan pemukiman yaitu subpopulasi
dengan individu-individu sebagai suspect TBC, subpopulasi dengan
individu-individu tertular TBC tetapi belum TBC, dan subpopulasi dengan
individu-individu positif TBC. Ketiga kategori subpopulasi ini berinteraksi
terus menerus secara bebas dengan subpopulasi lain yang menempati lingkungan
pemukiman yang sama yaitu subpopulasi dengan individu-individu negative TBC
ataupun yang suspek TBC. Apabila interaksi ini berjalan terus menerus tanpa
suatu upaya pengendalian yang cukup serius maka TBC akan menjadi bahaya dalam
rentang waktu yang cukup lama.
Untuk itu, penulis tertarik
untuk membahas tentang model SIS penyakit Tuberculosis untuk mengetahui bagaimana penyebaran penyakit Tuberculosis
sehingga dapat diprediksi kemungkinan yang terjadi di masa depan tentang
jumlah penderita TBC dan tindakan apa yang harus dilakukan untuk meminimalisir
penyebaran penyakit Tuberculosis.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana cara mencari model matematika jumlah
penderita penyakit Tuberculosis (TBC)
di Riau ?
2. Bagaimana simulasi model matematika jumlah penderita
penyakit Tuberculosis (TBC) di Riau ?
C. Tujuan
Penulisan
1. Untuk mengetahui cara mencari model matematika jumlah
penderita penyakit Tuberculosis (TBC)
di Riau
2.
Untuk mengetahui
simulasi model matematika jumlah penderita penyakit Tuberculosis (TBC) di Riau
BAB
II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Model
Model
merupakan model penyebaran penyakit dengan
fase kompartemen yaitu
dan
.
(susceptible) adalah individu yang sehat namun rentan (tak kebal) terhadap
penyakit dan
(infective) adalah individu yang terkena penyakit dan dapat menularkan
penyakitnya. Individu yang rentan (
) tersebut berinteraksi
dengan individu yang terinfeksi (
), sehingga terinfeksi
suatu penyakit. Dalam model
ini, individu dalam kelas infeksi dapat sembuh
dengan pengobatan medis, sehingga masuk kelas sehat (susceptible),
tetapi kesembuhan itu tidak mengakibatkan individu tersebut kebal, sehingga
memungkinkan terinfeksi kembali dan masuk kelas infeksi (infective). Adapun
salah satu penyakit yang menggunakan model SIS ini adalah penyakit Tuberculosis.
Untuk lebih ringkasnya dapat dilihat pada diagram di
bawah.
|
S
|
|
I
|
Gambar 2.1 Diagram
Model SIS ini terbagi menjadi dua buah,
yaitu model SIS deterministik dan model SIS stokastik. Akan tetapi, model yang
akan dibahas dalam makalah ini hanyalah model SIS deterministik saja.
B.
Model
Deterministik
untuk Penyakit Tuberculosis
Model deterministik SIS adalah model deterministik yang
menggunakan persamaan differensial. Terdapat beberapa model deterministik
untuk kasus tertentu. Salah satu model
yang akan dibahas dalam makalah ini adalah
model
untuk total populasi tetap dengan proses
kelahiran dan kematian. Adapun notasi yang
digunakan adalah :
= Laju kontak antara individu rentan Tuberculosis dan individu terinfeksi
Tuberculosis
= Rata-rata
kesembuhan dari
penyakit Tuberculosis
= Rata-rata kelahiran
= Rata-rata
kematian
= Ukuran
populasi
pada waktu t
= Jumlah
individu sehat pada waktu t
= Jumlah
individu terinfeksi
Tuberculosis
pada waktu t
dengan
,
,
,
,
,
,
Karena populasinya konstan berarti
sehingga
, dan
Sehingga kita peroleh
bahwa pada saat populasinya konstan maka laju kelahiran populasi tersebut sama
dengan laju kematiannya.
Asumsi :
1.
Jumlah populasi konstan
2.
Individu yang lahir merupakan individu yang
sehat tetapi rentan penyakit Tuberculosis
3.
Individu yang telah sembuh tidak memiliki
kekebalan permanen sehingga dapat tertular penyakit Tuberculosis kembali
4.
Terjadi kematian karena penyakit Tuberculosis
5.
Tidak terjadi Emigrasi atau Imigrasi
Model
Deterministik
untuk Tuberculosis, dapat
diperhatikan pada skema
berikut :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gambar 2.2 Skema Model
Deterministik
untuk penyakit Tuberculosis
Keterangan gambar :
: Menunjukkan penambahan dari populasi pada kelompok sehat tapi rentan penyakit Tuberculosis yaitu kelahiran, dihitung dengan :
: Menunjukkan jumlah individu
pada kelas rentan Tuberculosis yang berpindah ke kelas infeksi Tuberculosis akibat individu tersebut melakukan kontak dengan individu
terinfeksi Tuberculosis, dihitung
dengan :
: Menunjukkan jumlah individu
pada kelas infeksi Tuberculosis yang mengalami pemulihan sehingga masuk ke kelas rentan, dihitung
dengan :
: Menunjukkan jumlah kematian
pada kelas infeksi, dihitung dengan :
: menunjukkan jumlah kematian pada kelas rentan,
dihitung dengan :
a.
Untuk
ruang keadaan individu sehat tapi rentan
Tuberculosis
1)
Dengan
adanya kontak antara individu rentan dan individu terinfeksi
Asumsi
: a) Pertambahan populasi
individu rentan
Tuberculosis
berbanding terbalik dengan pertambahan waktu.
b) Pertambahan populasi individu rentan Tuberculosis sebanding dengan proporsi individu
rentan (jumlah individu rentan per jumlah populasi).
c) Pertambahan populasi individu rentan Tuberculosis sebanding dengan jumlah individu
terinfeksi
Formulasi:
2)
Dengan adanya kematian pada individu terinfeksi Tuberculosis
Asumsi: a) Pertambahan jumlah individu rentan
Tuberculosis sebanding dengan pertambahan waktu.
b) Pertambahan
jumlah individu rentan Tuberculosis sebanding dengan jumlah individu terinfeksi
Tuberculosis.
Formulasi:
3)
Dengan
adanya individu terinfeksi Tuberculosis
yang mengalami pemulihan
Asumsi
: a) Pertambahan jumlah individu rentan Tuberculosis sebanding dengan
pertambahan waktu.
b) Pertambahan
jumlah individu rentan Tuberculosis sebanding dengan jumlah individu terinfeksi
Tuberculosis.
Formulasi:
Jumlahkan ketiga formulasi yang diperoleh, sehingga
Kemudian kita cari solusinya
Misalkan :
Lalu kita cari solusi khususnya dengan
menggunakan
Untuk
pada saat
,
maka:
Substitusikan nilai
ke dalam solusi umum diperoleh :
b.
Untuk
ruang keadaan individu terinfeksi Tuberculosis
1)
Dengan
adanya kontak antara individu rentan dan individu terinfeksi
Asumsi
: a) Pertambahan populasi
individu terinfeksi
Tuberculosis
sebanding dengan pertambahan waktu.
b) Pertambahan populasi individu terinfeksi Tuberculosis sebanding dengan proporsi individu terinfeksi
(jumlah individu terinfeksi per jumlah populasi).
c) Pertambahan populasi individu terinfeksi Tuberculosis sebanding dengan jumlah individu rentan.
Formulasi :
2)
Dengan adanya kematian pada individu terinfeksi Tuberculosis
Asumsi: a) Pertambahan
jumlah individu terinfeksi Tuberculosis berbanding terbalik
dengan pertambahan waktu.
b) Pertambahan
jumlah individu terinfeksi sebanding dengan jumlah individu terinfeksi
Tuberculosis.
Formulasi:
3)
Dengan
adanya individu terinfeksi Tuberculosis
yang mengalami pemulihan
Asumsi : a) Pertambahan
jumlah individu terinfeksi Tuberculosis berbanding terbalik
dengan pertambahan waktu.
b) Pertambahan
jumlah individu terinfeksi sebanding dengan jumlah individu terinfeksi
Tuberculosis.
Formulasi :
Jumlahkan ketiga formulasi yang diperoleh, sehingga :
Karena
Kemudian kita cari solusinya
Misalkan
:
Misalkan :
Lalu kita cari solusi khususnya dengan
menggunakan
Untuk
pada saat
,
maka:
Substitusikan nilai
ke dalam solusi umum diperoleh :
BAB
III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Model
merupakan model penyebaran penyakit di mana
individu dalam kelas infeksi dapat sembuh dengan pengobatan medis, sehingga
masuk kelas sehat (susceptible), tetapi kesembuhan itu tidak
mengakibatkan individu tersebut kebal, sehingga memungkinkan terinfeksi kembali
dan masuk kelas infeksi (infective). Salah satu
jenis penyakit yang sesuai dengan model SIS deterministik yaitu penyakit Tuberculosis.
Model SIS deterministik untuk penyakit Tuberculosis untuk populasi konstan dengan proses kelahiran dan
kematian adalah sebagai berikut :
B.
Saran
Model SIS
deterministik untuk penyakit Tuberculosis
ini dapat dikembangkan lagi dengan menambah asumsi-asumsi yang lain. Semakin
banyak asumsi maka semakin bagus model matematika yang dibuat sehingga bisa
dijadikan untuk pengambilan tindakan atau keputusan untuk meminimalisir kasus Tuberculosis.
DAFTAR
PUSTAKA
Adi Tri Ratmanto, Purnami Widyaningsih dan
Respatiwulan. Titik Kesetimbangan Model Endemik Suspectible Infected
Suspectibele (SIS) Beserta Kestabilannya.pdf. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Sebelas Maret.
Anonimuous. 2013. “Pemodelan Matematika Uin” (Online)
https://pemodelanmatematikauin.files.wordpress.com/2013/05/lectures-kalkulus-variasi-figueroa.pdf.
