BANGUN DATAR
1.
Persegi
a.
Pengertian
Persegi
adalah segiempat yang keempat sudutnya siku-siku dan keempat sisinya sama
panjang.[1]
b. Sifat
·
Mempunyai 4 sisi yang sama panjang
AB = BD = DC =
CA
·
Mempunyai 4 sudut yang sama besar, yaitu 90° ( sudut siku-siku )
A =
B =
C =
D
·
Mempunyai 2 garis diagonal yang membagi
2 bangun datar yang sama besar dan membagi sudutnya sama besar
AD = BC
·
Menempati bingkainya dengan 8 cara
·
Memiliki
empat buah simetri lipat
·
Memiliki simetri putar tingkat empat
c. Luas
Keterangan:
s =
sisi
d. Keliling
Keterangan:
s = sisi
e.
Panjang Diagonal
Panjang diagonal
=
f.
Contoh Soal
1) Berapa
luas dan keliling bujur sangkar yang mempunyai panjang sisi 5 cm ?
Penyelesaian
:
§ Luas = sisi
x sisi
= 5 cm x 5 cm
= 25
(satuan luas adalah persegi)
§ Keliling = 4
x sisi
= 4 x 5 cm
= 20 cm
2)
Jika luas suatu bujur sangkar adalah 36
Berapa
panjang sisi dan keliling bujur sangkar tersebut ?
Jawab:
Misal
sisi adalah s
§ Luas
= sisi x sisi
= s x s
= s2
36 cm2 =
s2
s =
s
= 6
cm (Panjang sisi)
§ Keliling = 4 x s
= 4
x 6 cm
= 24
cm
3)
Jika keliling bujur sangkar adalah 48
cm. Berapa panjang sisi dan luas bujur sangkar tersebut?
Penyelesaian
:
Keliling = 4
x sisi
Luas = sisi
x sisi
48 cm = 4
x sisi
= 12 cm x 12 cm
Sisi = 48
: 4 = 144 cm2
= 12 cm
4) Diketahui
persegi yang panjangnya sisinya 13 cm. Hitunglah luasnya!
Penyelesaian :
Luas = sisi
x sisi
= 13
x 13
= 169
Jadi,
luas persegi tersebut adalah 169
5) Sebuah persegi memiliki sisi
sepanjang 6 cm. Tentukan luas dan keliling persegi tersebut![2]
Penyelesaian :
L = s x s
L = 6 x 6 = 36 cm2
K = 4 x s
K = 4 x 6 = 24 cm
Penyelesaian :
L = s x s
L = 6 x 6 = 36 cm2
K = 4 x s
K = 4 x 6 = 24 cm
2.
Persegi Panjang
a. Pengertian
Persegi panjang adalah bentuk segiempat
yang keempat sudutnya siku-siku dan sisi yang berhadapan sama panjang dan
saling sejajar.
b. Sifat
·
Memiliki
dua diagonal sama panjang dan
dapat membagi bangun datar menjadi 2 bagian sama besar
AC
= BD
·
Memiliki 2 pasang sisi sejajar dan sama
panjang
AB = CD
AD = BC
·
Memiliki 4 sudut siku-siku dan sama
besar
A =
B =
C =
D = 900
·
Memiliki dua macam ukuran panjang dan
lebar
·
Menempatkan bingkainya dengan 4 cara
·
Memiliki
dua simetri putar
·
Memiliki
dua simetri lipat
c. Luas
Keterangan:
p = panjang
l = lebar
d. Keliling
Keterangan:
p = panjang
l = lebar
e.
Panjang Diagonal
Panjang diagonal
=
f.
Contoh Soal
1) Suatu
persegi panjang mempunyai panjang = 8 cm dan lebar = 5 cm. Berapa luas dan
keliling persegi panjang itu ?
Penyelesaian
:
- Luas = p x l
= 8 cm x 5 cm
= 40
- Keliling = 2 (p + l)
= 2 ( 8 cm+
5 cm)
= 2 x 13 cm
= 26 cm
2)
Suatu persegi panjang mempunyai luas =
70
dan panjang 10 cm. Berapa lebar dan keliling
persegi panjang tersebut ?
Jawab:
- Luas = p x
l
l
= luas
: p
= 70 : 10
= 7
cm
-
Keliling = 2 (10cm+7cm)
= 2 x 17 cm
= 34 cm
3)
Suatu persegi panjang mempunyai keliling
= 44 cm dan lebar = 10 cm. Berapa luas persegi panjang tersebut ?
Penyelesaian
:
Luas = p x l
Lebar = 10 cm ;
panjang = belum
diketahui
Diketahui
keliling = 44 cm
Keliling = 2 ( p
+ l )
44 = 2
(p + 10) ; ruas kiri dan ruas kanan dibagi 2
22 = p
+ 10
p = 22
cm – 10 cm
= 12
cm
Sehingga
Luas = p
x l
= 12 cm x 10 cm
= 120
4) Diketahui
persegi panjang yang panjangnya 40 cm dan lebarnya 32 cm. Maka luasnya adalah..
Penyelesaian :
Luas = p x
l
= 40
x 32
= 1280
Jadi
luas persegi panjang tersebut adalah 1280
5) Perhatikan gambar persegipanjang
ABCD berikut!
Tentukan:
a)
Luas persegipanjang
b)
Keliling persegipanjang
Penyelesaian :
a) Luas persegi panjang
L = p × l
L = 6 cm × 4 cm
= 24 cm2
b)
Keliling
persegi panjang
K = 2 (p + l)
K = 2 (6 cm + 4 cm)
K = 2 (p + l)
K = 2 (6 cm + 4 cm)
= 2 x 10 cm
= 20 cm
6) Pak Subur memiliki sebidang kebun
berbentuk persegi panjang dengan luas 2 hektar. Jika lebar kebun adalah 125 m,
tentukan panjang kebun pak Subur tersebut!
Diketahui
:
Kebun berbentuk persegipanjang
L = 2 hektare = 20000 m2
l = 125 m
Ditanya :
p =....
Penyelesaian :
p = L : l
p = 20000 : 125
p = 160 m
Penyelesaian :
p = L : l
p = 20000 : 125
p = 160 m
7)
Selembar
kain bentuk persegi panjang memiliki ukuran perbandingan panjang dan lebar
adalah 3 : 2. Jika luas penampang kain adalah 54 m2. Tentukan
panjang dan lebar kain tersebut!
Penyelesaian
:
Misalkan panjangnya adalah 3x dan lebarnya adalah 2x
Luas = p x l
54 = (3x)(2x)
54 = 6x2
x2 = 54/6
x2 = 9
x = √9
x = 3
Sehingga,
panjang = 3x = 3(3) = 9 meter
lebar = 2x = 2(3) = 6 meter
Luas = p x l
54 = (3x)(2x)
54 = 6x2
x2 = 54/6
x2 = 9
x = √9
x = 3
Sehingga,
panjang = 3x = 3(3) = 9 meter
lebar = 2x = 2(3) = 6 meter
8)
Perhatikan
gambar berikut! Lukisan berbentuk persegi panjang berukuran 40 cm x 50 cm
dipasang pada bingkai berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 cm!
Penyelesaian :
Luas Bingkai = 60 x 60 = 3600 cm2
Luas Bingkai = 60 x 60 = 3600 cm2
Luas
Lukisan = 40 x 50 = 2000 cm2
Luas
area yang tidak tertutup lukisan = 3600 - 2000 = 1600 cm2
3.
Jajar Genjang
a. Pengertian
Jajar Genjang adalah bentuk segiempat
dimana sisi yang berhadapan sama panjang dan saling sejajar dan memiliki
sudut-sudut yang berhadapan sama besar
Jajar genjang dapat dibentuk dari
gabungan sebuah segitiga dan bayanganya setelah diputar setengah putaran dengan
pusat titik tengah salah satu sisinya.[4]
·
Memiliki 4 ruas garis AB, BC, CD
dan AD
·
Memiliki sudut-sudut yang berhadapan
sama besar
A =
C, dan
B =
D
·
Jumlah sudut yang berdekatan adalah 1800
A +
B =
, dan
C +
D =
·
Dua ruas garis
yang berhadapan sama panjang
AB = DC, dan AD = BC
·
Memiliki sisi-sisi yang sejajar
AB
// DC, dan AD // BC
·
Kedua diagonal tidak sama panjang dan
membagi 2 bangun datar sama besar
·
Memiliki dua macam ukuran alas dan
tinggi
·
Memiliki dua buah sudut lancip
·
Memiliki dua buah sudut tumpul
·
Tidak
memiliki simetri lipat
·
Memiliki
simetri putar tingkat dua
c. Luas
Keterangan:
a = alas
t = tinggi
d.
Keliling
e.
Contoh Soal
1)
Suatu jajar genjang mempunyai panjang =
7 cm dan lebar = 3 cm. Berapa keliling dan luas jajaran genjang tsb?
Penyelesaian
:
- keliling = 2 (p+l)
= 2 x (7 cm+3cm)
= 20 cm
-
Luas = alas x tinggi
= 7 cm x 3 cm
= 21 cm2
2)
Pada sebuah jajar genjang diketahui luasnya 250 cm2.
Jika panjang alas jajar genjang tersebut 5x dan tingginya 2x,
tentukan nilai x, panjang alas dan tinggi jajargenjang tersebut.
Penyelesaian:
Untuk
mencari nilai x kita gunakan rumus luas jajar genjang, yakni:
Luas = alas
x tinggi
250 cm2
= (5x) x (2x)
250 cm2
= 10x
x = 25 cm
Setelah
ketemu nilai x maka panjang alas jajar genjang dapat dicari yaitu:
Panjang alas
= 5x
Panjang alas
= 5 x 25 cm
Panjang alas
= 125 cm
Dengan cara
yang sama (memasukan nilai x) kita akan dapatkan panjang tinggi jajargenjang
yaitu:
Panjang
tinggi = 2x
Panjang
tinggi = 2 x 25 cm
Panjang
tinggi = 50 cm
3)
Diketahui jajar genjang ABCD dengan AB = 12 cm dan AB
: BC = 4 : 3 dengan jika tinggi = 6 cm, hitunglah kelilingnya dan luasnya.
Penyelesaian:
Untuk
mancari keliling ABCD terlebih dahulu harus mencari panjang BC dengan menggunakan
konsep perbandingan, yaitu:
AB : BC = 4
: 3
12 cm : BC =
4 : 3
BC = ¾ (12
cm)
BC = ¾ (12
cm)
BC = 9 cm
Dengan
menggunakan panjang BC kita bisa mencari keliling jajar genjang yaitu:
keliling = 2
(AB+BC)
keliling = 2
(12 cm + 9 cm)
keliling = 2
(21 cm)
keliling =
42 cm
Sedangkan
luas jajar genjang kita gunakan rumus sebelumnya yaitu:
Luas = alas
x tinggi
Luas = 12 cm
x 6 cm
Luas = 72 cm2
4)
Luas jajar genjang ABCD adalah 66,5 cm2 dan
tingginya 7 cm. Tentukan panjang alasnya.
Penyelesaian:
Luas = alas
x tinggi
66,5 cm2
= alas x 7 cm
alas = 66,5
cm2/7 cm
alas = 9,5
cm
5)
Panjang AB = 15 cm, luas AOB = 45 cm2, dan
perbandinan OF : DE = 2 : 4. Tentukanlah luas jajar genjang ABCD.
Penyelesaian:
Untuk
mencari luas jajar genjang kita harus mencari terlebih dahulu panjang DE,
panjang DE akan didapatkan jika panjang OF diketahui. Untuk mencari panjang OF
kita gunakan rumus luas segitiga yaitu:
Luas AOB = ½
x alas x tinggi
Luas AOB = ½
x AB x OF
45
m2 = ½ x 15 cm x OF
90
m2 = 15 cm x OF
OF = 6 cm
Setelah ketemu panjang OF maka
panjang DE dapat dicari dengan menggunakan konsep perbandingan, yaitu:
OF : DE = 2 : 4.
6
cm : DE = 2 : 4
DE = (4/2) x 6 cm
DE = 12 cm
DE merupakan tinggi jajar genjang,
maka luas jajar genjang ABCD yaitu:
Luas = Alas x Tinggi
Luas = AB x DE
Luas = 15 cm x 12 cm
Luas = 195 cm2
Jadi, luas jajar genjang ABCD adalah
195 cm2
4.
Segitiga
a. Pengertian
Segitiga
adalah sebuah bangun bidang datar yang dibatasi oleh 3 buah garis dan mempunyai
3 buah titik sudut.
Segitiga
juga merupakan bangun geometri bidang datar yang terdiri dari tiga garis yang
saling berpotongan membentuk suatu kurva tertutup
Untuk setiap segitiga berlaku :
Ø sudut terbesar
menghadap sisi terpanjang
Ø sudut terkecil menghadap sisi terpendek
Ø sudut yang sedang
menghadap sisi yang sedang
A, B, dan C adalah titik sudut
a, b, dan c = sisi
segitiga ABC
a = sisi
depan sudut A
b = sisi
depan sudut B
c = sisi
depan sudut C
A +
B +
C =
Syarat
segitiga :
-
Jumlah
seluruh sudutnya 1800
-
Jumlah
dua sisinya harus lebih besar dari sisi yang lainnya
-
Sisi
dan sudutnya berbanding lurus
-
Pada
segitiga tumpul, sudut terbesar menghadap kesisi terpanjang dan sudut terkecil
menghadap kesisi terpendek[6]
b.
Jenis
- jenis Segitiga dan Sifatnya
1) Jenis
segitiga ditinjau dari panjang sisi
a) Segitiga
sembarang
Segitiga sembarang adalah
segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang.
b) Segitiga
sama kaki
Segitiga sama kaki
adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang.
Sifatnya adalah:
·
Segitiga sama kaki dapat menempatkan
bingkainya dengan tepat menurut dua cara;
·
mempunyai satu sumbu simetri.
·
Memiliki 3 ruas garis: AB, AC, dan BC
·
Dua ruas garis kaki sama panjang, AC dan
BC.
·
Memiliki dua macam ukuran alas dan
tinggi.
·
Memiliki tiga buah sudut lancip.
·
Semua sudutnya sama besar.
·
Jumlah ketiga sudutnya 180
c) Segitiga
sama sisi
Segitiga sama sisi
adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Sifatnya adalah:
·
Segitiga sama sisi dapat menempati
bingkainya dengan tepat menurut enam cara;
·
Mempunyai tiga sumbu simetri;
·
mempunyai simetri putar tingkat tiga;
·
Memiliki 3 ruas garis
·
Ketiga (semua) ruas garis sama
panjang
·
Memiliki dua macam ukuran alas dan
tinggi
·
Memiliki tiga buah sudut sama besar (60o).
2) Jenis
segitiga ditinjau dari besar sudutnya
a) Segitiga
lancip
Segitiga lancip adalah
segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip dan besar sudutnya kurang
dari 900 .
b) Segitiga siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya
siku-siku dan besar sudut tersebut adalah 900 .
Sifat :
a. Memiliki 3 ruas garis: AB, AC dan BC
b. Memiliki garis tegak lurus pada alas
(tinggi)
c. Memiliki ukuran, alas, dan tinggi.
d. Memiliki dua buah sudut lancip
e. Memiliki satu buah sudut siku-siku
(90o)
c) Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya
tumpul dan besar sudut tersebut adalah lebih dari 900.[7]
c.
Garis-garis
istimewa dalam suatu segitiga
1) Garis tinggi segitiga
Garis Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga
dan tegak lurus dengan sisi di depannya. (biasanya ada tanda sudut 90derajat)
Membuat garis tinggi
DIketahui
segitiga ABC. Jika ingin membuat garis tinggi di titik B, maka:
2) Garis bagi segitiga
Garis Bagi Segitiga adalah garis yang
ditarik dari salah satu sudut pada segitiga sehingga membagi sudut tersebut
menjadi dua sama besar.(biasanya dibagian sudut yang terbelah ada tanda titik
atau sebagainya)[8]
Membuat garis bagi
Diketahui segitiga ABC. Jika ingin membuat garis bagi pada sudut A, maka:
3) Garis sumbu segitiga
Garis sumbu segitiga adalah garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua
bagian yang sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut. (membaginya tidak
dari titik sudut)
Garis sumbu membagi sisi sama besar dan tegak lurus terhadap
sisi tersebut.
Membuat garis sumbu
Diketahui segitiga KLM. Jika ingin membuat garis sumbu sisi KM,
Maka:
3) Garis berat segitiga
Garis Berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga sehingga membagi sisi
di depannya menjadi dua bagian sama panjang. (membaginya dari titik sudut)
Membuat garis berat
Diketahui
segitiga XYZ. Untuk membuat garis berat dari titik X, Maka,
d. Luas
Atau
Luas
segitiga = akar dari (s-a) (s-b) (s-c) dimana s = ½ (a+b+c)
e. Keliling
f. Sudut luar segitiga
Sudut luar adalah sudut yang dibentuk oleh salah satu sisi
segitiga dan perpanjangan sisi lainnya untuk memperoleh hubungan besar sudut
pusat dan sudut keliling.
Hubungan sudut dalam dan luar
segitiga adalah ukuran sudut luar dan salah satu sudut dalam segitiga = jumlah
dua sudut dalam lainnya.
Perhatikan
gambar di bawah ini.
Y adalah
salah satu sudut luar segitiga.
“Besar sudut
luar sama dengan jumlah sudut dihadapannya”
Bukti:
Gambarkan
sebuah garis yang sejajar dengan garis AB dan melalui titik C,
Berdasarkan
gambar di atas:
α = sudut ABC (Sudut dalam berseberangan)
β = sudut BAC (Sudut saling sehadap)
Sehingga,
Y = α + β
Y = sudut ABC + sudut BAC -------->(terbukti)
Menghitung jumlah sudut luar segitiga
Perhatikan
gambar di bawah ini.
Sudut p, q,
dan r adalah sudut-sudut luar segitiga ABC.
Jumlah sudut luar sebuah segitiga adalah 360.
Berdasarkan
gambar di atas:
p = c + b
q = a + b
r = a + c
maka,
p + q + r =
(c + b) + (a + b) + (a + c)
p + q + r =
2a + 2b + 2c
p + q + r =
2(a + b + c) -----> (a + b + c = 180)
sehingga p + q + r = 360 -----> terbukti.
g.
Contoh Soal
1)
Perhatikan gambar di bawah ini.
Berdasarkan
gambar berikut, tentukan nilai x° dan y°.
Penyelesaian:
Cari nilai x dengan menggunakan konsep jumlah sudut segitiga, yakni:
∠CAB + ∠ABC + ∠ACB =180°
Cari nilai x dengan menggunakan konsep jumlah sudut segitiga, yakni:
∠CAB + ∠ABC + ∠ACB =180°
80°
+ x° + 60° = 180°
140°
+ x° = 180°
x°
= 180° – 140°
x°
= 40°
x°
+ y° = 180° (berpelurus)
40°
+ y° = 180°
y°
= 180° – 40°
y°
= 140°
Jadi, nilai x° = 40° dan y° = 140°
2) Suatu segitiga sama sisi mempunyai panjang alas = 8
cm dan tinggi 6 cm. Beapa luas segitiga tersebut?
Penyelesaian :
Luas = ½
x alas x tinggi
= ½ x 8 x 6
= 24 cm2
3) Suatu segitiga mempunyai luas 56 cm2
dengan alas = 14 cm. Berapa tinggi segitiga tsb?[10]
Penyelesaian :
Luas
= ½
. a x t
56 = ½ . 14 x t
56 = 7 x t
t = 56 : 7
t = 8 cm
[1]
Suryanto Tabrani, Pintar
Matematika SMP (Jakarta: Bintang Indonesia,2009), hal. 113
[2]
Mahdiar, http://mahdiar-blog.blogspot.com/2013/10/sifat-sifat-bangun-datar-terlengkap.html, diakses pada tanggal 28 April
2014 Pukul 09.35 WIB
[3] Anonimous, http://puteka85.blogspot.com/2012/08/ciri-ciri-bangun-datar-persegi-dan.html, dikakses pada tanggal 28 April 2014
Pukul 09.40 WIB
[4]
Suryanto Tabrani, op.cit., hal.
115
[5] Anonimous, http://web-matematik.blogspot.com/2012/09/sifat-sifat-bangun-datar.html, dikakses pada tanggal 28 April
2014 Pukul 09.45 WIB
[6] Suryanto Tabrani, op.cit., hal. 105
[7]
Anonimous, http://web-matematik.blogspot.com/2012/09/sifat-sifat-bangun-datar.html, diakses pada tanggal 28 April
2014 pukul 14.05 WIB
[8]
Anonimous, http://ihgilailmam.blogspot.com/2013/03/garis-sumbugaris-beratgaris-tinggigaris.html, diakses pada tanggal 28 April
2014 pukul 14.00 WIB
[9] Anonimous, loc.cit.
[10] Anonimous, http://geomathshared.blogspot.com/2013/05/sudut-luar-segitiga.html, diakses pada tanggal 28 April
2014 pukul 14.10 WIB
